Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F为PC上一点，且
EF∥面PAD．
（I）证明：F为PC的中点；
（II）若AB=2，求二面角C-PD-E的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以A为坐标原点，AB，AD，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，设

PF

=λ

PC

，AB=2a，设我们分别求出向量

EF

的坐标及平面PAD的法向量的坐标，根据两个向量垂直数量积为0，我们可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ值，即可判断F点的位置；
（II）若AB=2，我们分别求出平面PCD的一个法向量和平面PDE的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可得到答案．

解答：证明：（I）以A为坐标原点，AB，AD，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，
设AB=2a
则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（a，0，0），
∴设

PF

=λ

PC

=（2aλ，λ，-λ），则

EF

=（-a+2aλ，λ，1-λ）
∵

AB

=（2a，0，0）为平面PAD的一个法向量，且EF∥面PAD
∴

EF

•

AB

=0
即2a•（-a+2aλ）=0，
∴λ=

1

2

故F为PC的中点；
解：（II）若AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（1，0，0），
则

PD

=（0，1，-1），

PC

=（2，1，-1），

PE

=（1，0，-1）
设

m

=（a，b，c）为平面PCD的一个法向量
则

2a+y-z=0 y-z=0

，
则

m

=（0，1，1）为平面PCD的一个法向量
设

n

=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量
则

y-z=0 x-z=0

则

n

=（1，1，1）为平面PDE的一个法向量
设二面角C-PD-E的平面角为θ
则cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

6

3

即二面角C-PD-E的平面角的余弦值为

6

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的性质，其中建立空间坐标系，将线面平行问题及二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．