Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：
（1）AE∥平面PBC；
（2）PD⊥平面ACE．

Answer 1

分析：（1）要证明线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件--在面PBC内找到与AE平行的直线，取PC的中点F利用题目中的平行关系，可证得AE∥BF，即得AE∥BF．
（2）由PB⊥AC，BD⊥AC可得AC⊥平面PBD，利用线面垂直的定义得AC⊥PD，然后由AP=AD，E为PD的中点得到PD⊥AE，由线面垂直的判定定理可得PD⊥平面ACE．

解答：证明：（1）取PC中点F，连接EF，BF，
∵E为PD中点，
∴EF∥DC且EF=

1

2

DC．
∵AB∥DC且AB=

1

2

DC，
∴EF∥AB且EF=AB．
∴四边形ABFE为平行四边形．
∴AE∥BF．
∵AE?平面PBC，BF?平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
（2）∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B，
∴AC⊥平面PBD．
∵PD?平面PBD，
∴AC⊥PD．
∵AP=AD，E为PD的中点，
∴PD⊥AE．
∵AE∩AC=A，
∴PD⊥平面ACE．

点评：本题考查了线面平行和线面垂直的判断，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，是个中档题．