Question

（1）已知函数f（x）是定义在R上的增函数，则函数y=f（|x-1|）-1的图象可能是

B

（2）使得函数f（x）=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

（a≤x≤b）的值域为[a，b]（a＜b）的实数对（a，b）有

2

对．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）是定义在R上的增函数，确定函数y=f（|x-1|）-1的取值关系，利用排除法即可确定函数图象．
（2）根据二次函数的图象和性质解方程即可．

解答：解：（1）设y=g（x）=f（|x-1|）-1，
则g（0）=f（1）-1，g（1）=f（0）-1，g（2）=f（1）-1，
∴g（0）=g（2），排除A，C，
又∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴g（0）＞g（1），排除D，
故选：B．
（2）f（x）=

1

5

（x-2）²-

11

5

，为开口向上的抛物线，
∴x在[2，∞）上单调增，在（-∞，2]上单调减
①2≤a＜b，此时[a，b]在f（x）的单调增区间上，
则最大值b=f（b），最小值a=f（a），
即a、b为方程x=f（x）的两根
x=f（x）=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

，即x²-9x-7=0的两根为a、b，
由韦达定理知ab=-7，即a、b异号，这与0＜2＜a＜b矛盾，
∴这种情况不可能．
②a＜b≤2，此时[a，b]在f（x）的单调减区间上，
则最大值b=f（a）=

1

5

（a-2）²-

11

5

①，最小值a=f（b）=

1

5

（b-2）²-

11

5

②
由①-②，得b-a=

1

5

[（a-2）²-（b-2）²）]=

1

5

（a+b-4）（a-b），
由于a＜b，所以a-b≠0，
可得-1=

1

5

（a+b-4），a+b=-1
可得a=-1-b，将其代入①，得b=

1

5

（-3-b）²-

11

5

且b=-1-a，将其代入②，得a=

1

5

（-3-a）²-

11

5

则a、b为方程x=

1

5

（-3-x）²-

11

5

的两根，
x²+x-2=0，
解得x=1，-2，由于a＜b，
所以a=-2，b=1，满足a＜b≤2
所以（a，b）=（-2，1）是一组解
③若a＜2＜b，此时[a，b]包含x=2，
则最小值a=f（2）=-

11

5

，满足a＜2，而f（x）在[a，2]上单调减，在[2，b]上单调增
所以最大值为f（a）或f（b），最大值须进一步分类讨论
注意到|a-2|=

21

5

，所以进行如下分类：
1°|b-2|＞

21

5

，即b＞

31

5

，
此时由于|b-2|＞|a-2|，f（b）=

1

5

（b-2）²-

11

5

＞f（a）=

1

5

（a-2）²-

11

5

，
即最大值b=f（b）=

1

5

（b-2）²-

11

5

，b²-9b-7=0，解得b=

1

2

（9±

109

），
其中b=

1

2

（9±

109

），满足b＞

31

5

，
所以（a，b）=（-

11

5

，

1

2

（9±

109

））是另一组解，
2°|b-2|＜

21

5

，即2＜b＜

31

5

，
此时由于|b-2|＜|a-2|，f（b）=

1

5

（b-2）²-

11

5

，
f（a）=

1

5

（a-2）²--

11

5

，
即最大值b=f（a）=f（-

11

5

）=-

274

125

＜0，与b＞2矛盾，所以这种情况不可能．
综上所述，满足题意的（a，b）有2对：（-2，1），（-

11

5

，

1

2

（9±

109

））．
故答案为：B，2．

点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，以及函数定义域和值域的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．