Question

（14分）如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

解析: （Ⅰ）将圆的一般方程化为标准方程 ，

圆的圆心为,半径. --------------------1分

由,得直线,

即,--------------------2分

由直线与圆相切,得,

或(舍去). -------------------4分                           

当时, ,  故椭圆的方程为-------------------5分

（Ⅱ）设,直线,代入椭圆的方程并整理得: ,   -------6分

设、,则是上述关于的方程两个不相等的实数解，

   -------8分

  （Ⅱ）(解法一)由知,从而直线与坐标轴不垂直, -----------6分

由可设直线的方程为，直线的方程为----------------7分

将代入椭圆的方程并整理得: ,

解得或,因此的坐标为,即---------9分

将上式中的换成,得.------------------10分

直线的方程为------------------11分

化简得直线的方程为，------------------13分

因此直线过定点.------------------14分

 (解法二)若直线存在斜率，则可设直线的方程为：， -------1分

代入椭圆的方程并整理得: ,   -------6分

由与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而

   -------8分

由得，

整理得： 由知.

此时, 因此直线过定点.-------12分

若直线不存在斜率，则可设直线的方程为：，

将代入椭圆的方程并整理得: ,

当时, ,直线与椭圆不相交于两点，这与直线与椭圆相交于、两点产生矛盾!

当时, 直线与椭圆相交于、两点，是关于的方程的两个不相等实数解，从而

但,这与产生矛盾! ------13分

因此直线过定点.-------14分

注：对直线不存在斜率的情形，可不做证明.