Question

（本小题满分13分）

设函数对任意的实数，都有，且当时，。

（1）若时，求的解析式；

（2）对于函数，试问：在它的图象上是否存在点，使得函数在点处的切线与平行。若存在，那么这样的点有几个；若不存在，说明理由。

（3）已知，且 ，记，求证： 。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）；（2）满足题意的点有5个；（3）  .                          

 

【解析】本试题主要考查了函数的解析式的求解，以及过点的切线方程的问题，和不等式的证明 的综合运用。

（1）第一问中将所求的变量转化为已知的区间，利用已知的关系式求解得到解析式。

（2）在第一问的基础上进一步得到函数的一般式，然后利用导数的思想，只要判定导函数为零，方程有无解即可。

（3）在第二问的得到函数的单调性，以及函数的最大值，然后结合函数的最值得到不等式，再结合等比数列的求和的思想得到。

解：（1）∵

设，则，∴。…………………2分

（2）设，则，

∴

∴，即为………4分

∵

 

∴问题转化为判断：关于的方程在，内是否解，即在，内是否有解，……………………6分

令

函数 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线，

判别式，

且，，

当时，∵，

∴方程分别在区间上各有一解，即存在5个满足题意的点

②当时，∵，∴方程在区间上无解。

综上所述：满足题意的点有5个。                       …………………………9分

（3）由（2）可知：

∴当时，，在上递增；

当时，，在上递减。

∴当时，，

又

∴对任意的，当时，都有，

∴。

∴                                       …………………………13分