Question

（本小题满分14分）

已知点P （4，4），圆C：与椭圆E：的一个公共点为A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆C相切。

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设D为直线PF₁与圆C 的切点，在椭圆E上是否存在点Q ，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由。

Answer 1

解(1)∵点A(3,1)在圆C上,∴

   又,∴                             …………………………2分

   设,∵

   ∴直线的方程为          …………………………4分

  ∵直线与圆C相切

  ∴                      …………………………6分

  即

由 解得

∴椭圆E的方程是                     …………………………7分

(2) 直线的方程为

由得切点                …………………………10分

又∵P(4,4), ∴线段PD的中点为M(2,3)

又∵椭圆右焦点

又,∴线段PD的垂直平分线的斜率为 -2         …………………………12分

∵,∴线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点

即在椭圆上存在两个点Q,使△PDQ是以PD为底的等腰三角形. ………………………14分

(或与过点M的椭圆右侧切线斜率比较说明)