Question

如图，设线段EF的长度为1，端点E、F在边长为2的正方形ABCD的四边上滑动．当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G围成的面积为S，则S=

 

．

Answer 1

分析：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，求出G在A角处的轨迹，从而得到G的轨迹围成的图形是正方形挖去四个四分之一圆周，由正方形的面积减去圆的面积得答案．

解答：解：假设正方形的拐角的点A为坐标原点（0，0），
再设点E的坐标是（x′，0），点F（0，y′），中点M（x，y）
则x=

x′

2

，y=

y′

2

，即x′=2x，y′=2y．
因为EF距离为1，即（x′）²+（y′）²=1
把x′=2x，y′=2y代入之后，得到x2+y2=

1

4

．
∵x′在0到1，∴画出图象只有一段圆弧．
这段圆弧位于圆心在（0，0），半径为

1

2

的圆上，而且是圆周长的

1

4

．
∴四部分的圆弧加起来就是整个圆了．
面积为π×(

1

2

)2=

π

4

．
∴G围成的面积为S等于正方形的面积减去

π

4

．即为4-

π

4

．
故答案为：4-

π

4

．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了封闭曲线面积的求法，关键是求出正方形四个角处的G的轨迹，是中档题．