Question

已知数列{a_n}，对于任意n≥2，在a_n-1与a_n之间插入n个数，构成的新数列{b_n}成等差数列，并记在a_n-1与a_n之间插入的这n个数均值为C_n-1，
（1）若，求C₁、C₂、C₃；
（2）在（1）的条件下是否存在常数λ，使{C_n+1-λC_n}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；
（3）求出所有的满足条件的数列{a_n}。

Answer 1

解：（1）由题意a₁=-2，a₂=1，a₃=5，a₄=10，
∴在a₁与a₂之间插入-1、0，C₁=；
在a₂与a₃之间插入2、3、4，C₂=3；
在a₃与a₄之间插入6、7、8、9，C₃=。
（2）在a_n-1与a_n之间插入n个数构成等差，，
∴C_n-1=，
假设存在λ使得{C_n+1-λC_n}是等差数列，
∵（C_n+1-λC_n）-（C_n-λC_n-1）=C_n+1-C_n-λ（C_n-C_n-1）

∴λ=1时，{C_n+1-λC_n}是等差数列。
（3）由题意满足条件的数列{a_n}应满足，
，

，
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）·（n+2），
∴a_n-a_n-1=（a₂-a₁） ·（n+1）
…
a₃-a₂=（a₂-a₁）×4
a₂-a₁=（a₂-a₁）×3，
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）·，
∴a_n=（a₂-a₁）（n-1）（n+4）+a₁，
又∵n=1时也满足条件，
∴形如的数列均满足条件。