Question

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记6分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m处，这时命中记3分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已经在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且不再继续射击．已知射手甲在100m处击中目标的概率为

1

2

，他的命中率与其距目标距离的平方成反比，且各次射击是否击中目标是相互独立的．
（Ⅰ）分别求这名射手在150m处、200m处的命中率；
（Ⅱ）设这名射手在比赛中得分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）由题意，这名选手距目标xm处的命中率Px=

k

x2

，根据射手甲在100m处击中目标的概率为

1

2

，求出k，然后可求出这名射手在150m处、200m处的命中率；
（II）这名射手在比赛中得分数为ξ，ξ的可能取值为6、3、1、0，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列和期望．

解答：解：（1）由题意，这名选手距目标xm处的命中率Px=

k

x2

，∵p100=

1

2

，∴k=5000，（2分）
∴p150=

5000

1502

=

2

9

，p200=

5000

2002

=

1

8

即这名射手在150m处、200m处的命中率分别为

2

9

，

1

8

．（5分）
（2）由题意ξ∈6，3，1，0，（6分）
记100m，150m，200m处命中目标分别为事件A，B，C
由（1）知P(ξ=6)=P(A)=

1

2

，P(ξ=3)=P(

.

A

•B)=P(

.

A

)•P(B)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，（7分）P(ξ=1)=P(

.

A

•

.

B

•C)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，（8分）
P(ξ=0)=1-P(ξ=6)-P(ξ=3)-P(ξ=1)=

49

144

，（9分）
所以随机变量ξ的分布列为

ξ	6	3	1	0
P	1 2	1 9	7 144	49 144

（10分）Eξ=6×

1

2

+3×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

487

144

（12分）．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，这类问题的解法实际上不困难，只要注意解题的步骤就可以．