Question

如图，椭圆C：，A₁、A₂为椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）设F₁为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF₁|取得最小值与最大值；
（Ⅱ）若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C的标准方程；
（Ⅲ）若直线l：y=kx+m与（Ⅱ）中所述椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且满足AA₂⊥BA₂，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（I）设点P的坐标（x，y），再构造函数f（x）=|PF₁|²，代入两点间的距离公式并进行化简，利用二次函数的性质和x的范围，求出函数的最值以及对应的x的取值，即得到证明；
（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，再由b²=a²-c²求出b，进而求出椭圆的标准方程；
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程进行整理，化简出一个二次方程，再由题意和韦达定理列出方程组，根据题意得，代入后得列出关于m的方程，进行化简、求解，注意对应题意进行验证．
解答：解：（Ⅰ）设p（x，y），则，且F₁（-c，0），
设f（x）=|PF₁|²，则f（x）=（x+c）²+y²=，
∴对称轴方程，由题意知，恒成立，
∴f（x）在区间[-a，a]上单调递增，
∴当x取-a、a时，函数分别取到最小值与最大值，
∴当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF₁|取得最小值与最大值；
（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立得，（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，则
又∵，
∵椭圆的右顶点为A₂（2，0），AA₂⊥BA₂，∴=-1，
即，∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴，
化简得，7m²+16mk+4k²=0，
解得，m₁=-2k，，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当时，l的方程为，直线过定点．
所以，直线l过定点，定点坐标为．
点评：本题考查椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了利用构造函数的方法处理最值问题，主要利用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力，最后对应题意进行验证这是易错的地方．