Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值;

（2）当时,若恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）

【解析】

（1）由得,当,得,即可求得函数的极值.

（2）由题意有恒成立,即恒成立, 设,则, 求得的最小值,即可求得实数的取值范围.

（1）由得,

令,得,

当时,当时,

函数在上单调递减;函数在单调递增.

函数存在极小值.其极小值为,无极大值.

（2）由题意有恒成立,即恒成立,

设,

则,

设,下面证明有唯一解.

易知单调递增,且,所以若有零点x,则,

令,可得,（※）

注意到,

所以方程（※）等价于,

又由（1）可知,当时,在上单调递增,

又当时,,

所以方程等价于方程,

设函数,则单调递增,

又,,所以存在,使得

,即方程有唯一解,即,

因此方程有唯一解,

所以有唯一解.

且当时,,单调递减;

当时,,单调递增;

所以的最小值为,

所以.