Question

（1）已知(x

x

+

2

3 x

)n展开式中前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项和一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来．
（2）设an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*，q≠±1)，An=

C

1 n

a1+

C

2 n

a2+…+

C

n n

an
①用q和n表示A_n；
②求证：当q充分接近于1时，

An

2n

充分接近于

n

2

．

Answer 1

分析：（1）先求得展开式的通项公式，根据展开式中前3项系数的和为129，求得n的值，令x的幂指数等于零，自然数r无解，可得展开式中无常数项．令x的幂指数等于1，解得自然数r=6，由此可得展开式的一次项．
（2）①先求得 a_n=1+q+q²+…+q^n-1=

1-qn

1-q

，可得A_n =

1

1-q

[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]，再利用二项式系数的性质化简为

1

1-q

[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
②由①求得

An

2n

=

1

1-q

[1-(1-

1-q

2

)n]，当q充分接近于1时，

1-q

2

接近于0，由二项式定理知(1-

1-q

2

)n充分接近于1-n(

1-q

2

)，可得

1

1-q

[1-(1-

1-q

2

)n]充分接近

n

2

，命题得证．

解答：解：（1）二项式(x

x

+

2

3 x

)n的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r n

•x

3(n-r)

2

•2^r•x-

r

3

=2r •

C

r n

•x

9n-11r

6

，
展开式中前3项系数的和为 20 •

C

0 n

+21 •

C

1 n

+22 •

C

2 n

=129，解得n=8．
故通项公式为 T_r+1=2r •

C

r 8

•x

72-11r

6

，令

72-11r

6

=0，自然数r无解，故展开式中没有常数项．
令

72-11r

6

=1，解得自然数r=6，故有一次项，且一次项为1792x．
（2）①因为q≠1，所以，a_n=1+q+q²+…+q^n-1=

1-qn

1-q

．
于是，A_n=

1-q

1-q

C

1 n

+

1-q2

1-q

C

2 n

+…+

1-qn

1-q

 C_nⁿ =

1

1-q

[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]
=

1

1-q

{（2ⁿ-1）-[（1+q）ⁿ-1]}=

1

1-q

[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
②∵An=

1

1-q

[2n-(1+q)n]，∴

An

2n

=

1

1-q

[1-(1-

1-q

2

)n]，
当q充分接近于1时，

1-q

2

接近于0，由二项式定理知(1-

1-q

2

)n充分接近于1-n(

1-q

2

)，
所以[1-(1-

1-q

2

)n]充分接近n(

1-q

2

)，故

1

1-q

[1-(1-

1-q

2

)n]充分接近

n

2

，命题得证．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．