Question

如图，在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M为AB的中点.

(1)证明AC⊥SB；

(2)求二面角S-CM-A的大小；

(3)求点B到平面SCM的距离.

Answer 1

解析：如图，

(1)取AC中点D，连结DS、DB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥DS且AC⊥DB.

∴AC⊥平面SDB.又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

(2)∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC.

过D作DE⊥CM于E，连结SE，则SE⊥CM，

∴∠SED为二面角S—CM—A的平面角.

由已知有DEAM，∴DE=1.

又SA=SC=，AC=4，∴SD=2.

在Rt△SDE中，tan∠SED=,

∴二面角S—CM—A的大小为arctan2.

(3)在Rt△SDE中，，CM是边长为4的正△ABC的中线，

∴CM=.∴S_△SCM=CM·SE=.

设点B到平面SCM的距离为h，

由V_B—SCM=V_S—CMB，SD⊥平面ABC，

得S_△SCM·h=S_△CMB·SD，∴，

即点B到平面SCM的距离为.