Question

（2012•许昌县一模）如图所示四边形ABCD内接于E、O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，CD平分∠BDF
（Ⅰ）求证：AB•AD=AC•AE
（Ⅱ）若圆的半径为2，弦BD长为2

3

，求切线DF的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明△CDA∽△BEA，可得

AD

AE

=

AC

AB

，从而可得结论；
（Ⅱ）连接OD，OB，利用OD=OB=2，BD=2

3

，可得∠BCD=120°，从而可得∠BFD=90°，即可求切线DF的长．

解答：（Ⅰ）证明：由弦切角定理可知∠CDF=∠CAD
∵∠CDB=∠CAB，∠FDC=∠BDC
∴∠CAD=∠EAB
∵∠ACD=∠ABD
∴△CDA∽△BEA
∴

AD

AE

=

AC

AB

∴AB•AD=AC•AE；
（Ⅱ）解：连接OD，OB
在△BOD中，OD=OB=2，BD=2

3

，
∴∠BCD=120°
∴∠CBD=∠BDC=∠CDF=30°
∴∠BFD=90°
在直角△BFD中，DF=

1

2

BD=

3

∴切线DF的长为

3

．

点评：本题考查三角形相似的判定，考查弦切角定理，考查学生的计算能力，属于中档题．