Question

（2010•宁德模拟）设t＞0，数列{a_n}是首项为t，公差为2t的等差数列，其前n项和为S_n，若对于任意n∈N^*，

Sn

an

＞

1-t

恒成立，则t的取值范围是

0＜t≤1

．

Answer 1

分析：先求出数列的通项公式和前n项和，然后将

Sn

an

=

n

2 t n- t

＞

1-t

对于任意n∈N^*恒成立转化成(

n

2n-1

)min＞

(1-t)t

，然后令g（n）=

n

2n-1

，然后利用导数研究函数的单调性，从而求出g（n）＞

1

2

，从而得到关于t的不等式，解之即可，注意定义域．

解答：解：∵数列{a_n}是首项为t，公差为2t的等差数列
∴a_n=t+（n-1）×2t=2tn-t
∴S_n=

(a1+an)n

2

=

(t+2tn-t)n

2

=tn²
∴

Sn

an

=

t n

2tn-t

=

n

2 t n- t

＞

1-t

对于任意n∈N^*恒成立，
即(

n

2n-1

)min＞

(1-t)t

令g（n）=

n

2n-1

，g'（n）=

2n-1-2n

(2n-1)2

=

-1

(2n-1)2

＜0
∴g（n）=

n

2n-1

在[1，+∞）为单调减函数，则当n→∞时，g（n）→

1

2

∴

1

2

≥

(1-t)t

，且t＞0解得0＜t≤1
故答案为：0＜t≤1

点评：本题主要考查了等差数列的通项与求和，以及恒成立问题和数列与不等式的综合，同时考查了转化的思想，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．