Question

已知圆C1：x2+y2=1，椭圆C2：

x2

3

+

2y2

3

=1，四边形PQRS为椭圆C₂的内接菱形．
（1）若点P(-

6

2

，  

3

2

)，试探求点S（在第一象限的内）的坐标；
（2）若点P为椭圆上任意一点，试探讨菱形PQRS与圆C₁的位置关系．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆和菱形的对称性及直线与椭圆的方程联立即可解出；
（2）利用菱形的对角线的性质、直线与椭圆相交的解法、根与系数的关系、直线与圆的位置关系的判定方法即可得出．

解答：解：（1）利用椭圆和菱形的对称性可知：点R与P关于原点O对称，点S与Q关于原点OD对称，
∴k_OPk_OS=-1，而k_OP=

3 2

- 6 2

=-

2

2

，∴k_OS=

2

．
∴直线SO的方程为y=

2

x，
联立

y= 2 x x2 3 + 2y2 3 =1

，及x＞0，解得

x= 15 5 y= 30 5

，
∴S(

15

5

，

30

5

)．
（2）设P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
①当直线PS的斜率存在时，设直线PS的方程为：y=kx+t，
联立

y=kx+t x2+2y2=3

消去y得到关于x的一元二次方程：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-3=0，
∵直线与椭圆相交于不同的两点，∴△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-3）＞0，即3+6k²＞2t²．（*）
∴x1+x2=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-3

1+2k2

．
∵OP⊥OS，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
∴x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
整理为(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，
代入得(1+k2)×

2t2-3

1+2k2

-

4k2t2

1+2k2

+t2=0，
化为t²=k²+1，满足（*）式．
∴原点到直线的距离d=

|t|

1+k2

=1，
∴菱形PQRS与 圆C₁相切．
②当直线PS的斜率不存在时，上述结论也成立．
综上可得：点P为椭圆上任意一点，试探讨菱形PQRS与 圆C₁的位置关系是相切．

点评：熟练掌握椭圆和菱形的对称性、菱形的对角线的性质、直线与椭圆相交的解法、根与系数的关系、直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．