Question

【题目】设函数．

求函数的单调区间和极值．

若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析； (2)

【解析】

求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间和极值即可；

通过讨论a的范围，若满足在区间内恰有两个零点，需满足，解出即可．

由，得，

当时，，函数在上单调递增，函数无极大值，也无极小值；

当时，由，得或舍去．

于是，当x变化时，与的变化情况如下表：

x
		0
	递减		递增

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．

函数在处取得极小值，无极大值．

综上可知，当时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值；

当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间为，

函数有极小值，无极大值．

当时，由知函数在区间上单调递增，

故函数在区间上至多有一个零点，不合题意．

当时，由知，当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增，

所以函数在上的最小值为．

若函数在区间内恰有两个零点，

则需满足，即整理得，所以．

故所求a的取值范围为