Question

【题目】已知函数f（x）＝x3﹣3x2+1．

（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；

（2）求f（x）的极值；

（3）若方程f（x）＝a+2有两个不相等的实数根，求a．

Answer 1

【答案】（1）3x+y﹣2＝0； （2）极大值为1，极小值﹣3； （3）﹣1或﹣5

【解析】

（1）求出，进而求出，即可求出切线的点斜式方程；

（2）令，求出方程的解，进而求出函数的单调区间，即可求出结论；

（3）根据（2）的结论做出的图像，转化为与有两个交点，数形结合，即可求出结论.

解：（1）＝3x2﹣6x，∴＝312﹣61＝﹣3，

而f（1）＝13﹣312+1＝﹣1，

∴f（x）在x＝1处的切线方程：y+1＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣2＝0；

所以f（x）在x＝1处的切线方程：3x+y﹣2＝0；

（2），由（1）得，f'（x）＝0，x＝0，或x＝2，

x∈（﹣∞，0）和（2，+∞），f'（x）＞0，x∈（0，2），f'（x）＜0，

即的递增区间是，递减区间是，

所以极大值f（0）＝1，极小值f（2）＝﹣3，

所以函数的极大值为1，极小值﹣3；

（3）方程f（x）＝a+2有两个不相等的实数根，

即与直线有两个交点，

做出函数如下图所示，

当或，即或时，

有两个不相等的实数根.