Question

（1）设M（x₀，y₀）为抛物线y²=2x上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MPMQ，求证：PQ恒过定点M′（x₀+2，2-y₀）
（2）直线x+my+1=0与抛物线y²=2x交于点P，Q，在抛物线上是否存在点M，使得△MPQ为以PQ为斜边的直角三角形？

Answer 1

分析：（1）设PQ的方程为y=mx+n，代入y²=2x．得y²-2my-2n=0，然后由根与系数的关系可以得到直线PQ的方程为x=my+my₀+x₀+2，它一定过焦点M′（x₀+2，-y₀）．
（2）设M（x₀，y₀）为满足条件的点，则由（1）知，M′（x₀+2，-y₀）在直线x+my+1=0上，所以x₀+2-my+1=0，
由题设知y²-2my+6=0，△=4m²-24≥0，所以存在点M满足条件．

解答：（1）证明：设PQ的方程为y=mx+n，代入y²=2x
得y²-2my=-2n=0
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂-2n其中y₁，y₂分别是P，Q的纵坐标
∵MP⊥Mu∴k_max•k_min=-1（3分）
即

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=1
∴（y₁+y₀）（y₂+y₀）=-4
•y₁y₂+（y₁+y₂）y₀+y₀²-4=0
（-2n）+2my₀+2x₀+4=0，
=my₀+x₀+2
直线PQ的方程为x=my+my₀+x₀+2，
即x=m（y+y₀）+x₀+2，它一定过焦点M′（x₀+2，-y₀）（6分）
（2）设M（x₀，y₀）为满足条件的点，
则由（1）知，M′（x₀+2，-y₀）在直线x+my+1=0上，所以x₀+2-my+1=0，
（x₀，y₀）是方程组

y2=2x x-my+3=0

的解，
消去x得y²-2my+6=0，△=4m²-24≥0
∴存在点M满足条件．（12分）

点评：本题考查直线与圆锥的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养．