Question

根据下列条件，求出抛物线的标准方程．
（1）过点（-3，2）．
（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5．

Answer 1

分析：（1）当焦点在x轴时设其标准方程为：y²=-2px（p＞0），当焦点在y轴时，设其标准方程为：x²=2py（p＞0），将点（-3，2）分别代入求得各条件下的p即可；
（2）利用抛物线的定义，将抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离转化为它到其准线的距离，即可．

解答：解：（1）∵抛物线过点（-3，2），
∴当焦点在x轴时设其标准方程为：y²=-2px（p＞0）
∴4=-2p×（-3），
解得p=

2

3

，
∴其标准方程为y²=-

4

3

x；
当焦点在y轴时，设其标准方程为：x²=2py（p＞0），
同理可得，p=

9

4

，其标准方程为x²=

9

2

y；
综上所述，过点（-3，2）的抛物线的标准方程为：y²=-

4

3

x或x²=

9

2

y；
（2）设该抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），
则其准线方程为：x=-

p

2

，
∵抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5，
∴由抛物线的定义知，3-（-

p

2

）=5，
解得：p=4，
∴抛物线的标准方程为y²=8x．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论思想与方程思想，属于中档题．