Question

【题目】【2015高考湖北】如图，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.

(1)圆C的标准方程为________．

(2)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：

①＝；②－＝2；

③＋＝2.

其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．

Answer 1

【答案】(1)(x－1)2＋(y－)2＝2 (2)①②③

【解析】(1)取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB.

由题意|AD|＝|CD|＝1，

故|AC|＝＝，即圆C的半径为.

又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，所以圆心C的坐标为(1，)，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.

(2)在(x－1)2＋(y－)2＝2中，令x＝0，得y＝±1，

故A(0，－1)，B(0，＋1)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

当直线MN斜率不存在时，令M(0，－1)，N(0,1)，

则＝＝－1，＝＝－1.

∴＝.

当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋－1，由

得(1＋k2)x2＋2(－1)kx＋2(1－)＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

kBM＋kNB＝＋

＝＋

＝＋＝－＋2k

＝－＋2k＝0，

所以kBM＝－kNB，所以∠MBA＝∠NBA，BA是∠MBN的平分线．

由内角平分线定理得＝，即＝.

故＝恒成立．

当k＝0时，可求得＝－1，

故＝－1为定值．

所以－＝－(－1)＝2，

＋＝＋－1＝2.

故①②③都正确．