Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，-π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=

π

2

时，f（x）取得最大值，则（　　）

• A、f（x）在区间[-2π，0]上是增函数
• B、f（x）在区间[-3π，-π]上是增函数
• C、f（x）在区间[3π，5π]上是减函数
• D、f（x）在区间[4π，6π]上是减函数

Answer 1

分析：由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=

2π

6π

 =

1

3

，且当x=

π

2

时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（

π

6

+φ）=2，结合已知-π＜φ≤π可得φ=

π

3

 可得f(x)=2sin(

1

3

x+

π

3

)，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可

解答：解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=

2π

6π

 =

1

3

，
∴f（x）=2sin（

1

3

x+φ），
∵当x=

π

2

时，f（x）取得最大值，∴2sin（

π

6

+φ）=2，
∵-π＜φ≤π，∴φ=

π

3

，∴f(x)=2sin(

1

3

x+

π

3

)，
 由-

π

2

+2kπ≤

1

3

x+

π

3

≤  

π

2

+2kπ 可得函数的单调增区间：[6kπ-

5π

2

，6kπ+

π

2

]，
由

π

2

+2kπ≤

x

3

+

π

3

≤  

3π

2

+2kπ可得函数的单调减区间：[6kπ+

π

2

，6kπ+

7π

2

]，
结合选项可知A正确，
故选A．

点评：本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．