Question

【题目】中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：

①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；

②函数f（x）＝ln（）可以是某个圆的“优美函数”；

③函数y＝1+sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；

④函数y＝2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”；

⑤函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形.

其中正确的命题是_____.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据优美函数的定义，经过圆心的直线满足①；对于函数根据其单调性且图象为曲线可判断②；当圆心经过的中心时可判断③；直线经过圆心时可判断④；举出反例双曲线可判断⑤.

①对于任意一个圆，其过圆心的对称轴由无数条，所以其“优美函数”有无数个，故①正确；②函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增且图象为曲线，故不可以是某个圆的“优美函数”，故②不正确；③当圆经过函数的对称中心时，根据的图象可知可以将圆分成优美函数，图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数只要过圆心，即可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形，不对，有些中心对称图形不一定是“优美函数”，比如“双曲线”；故答案为①③④．