Question

（本小题满分14分）

       设函数f（x）=（x² +ax+a）e^-x，其中x∈R,a是实常数，e是自然对数的底数.

（1）确定a的值，使f（x）的极小值为0；

（2）证明：当且仅当a=5时，f（x）的极大值为5；

（3）讨论关于x的方程的实数根的个数.

Answer 1

解：（Ⅰ）f ′（x）=（2x+a）e^-1-(x²+ax+a) e^-1

=- e^-1[x²+（a-2)x]

令f ′（x ）=0.解得x =0或x =2-a. ……………………………………………………1分

当a=2时，f ′（x）≤0，此时无极值；…………………………………………2分

当0＜2-a.即a＜2时，f ′（x）和f （x）的变化如下表1：

x	（-∞，0）	0	（0，2- a）	2- a	（2- a，+∞）
f ′（x）	-	0	+	0	-
f （x）	坨	极小值	坭	极大值	坨

此时应有f（0）=0，得a =0＜2,符合. ……………………………………………3分

③当0＞2-a，即a＞2时，f ′（x）和f （x）的变化如下表2：

x	（-∞，2- a）	2- a	（2- a，0）	0	（0，+∞）
f ′（x）	-	0	+	0	-
f （x）	坨	极小值	坭	极大值	坨

此时应有f（2- a）=0，即[（2- a）²+a（2- a）+a]e^a-2=0.

∵e^-2≠0. ∴（2- a）²+ a（2- a）+ a =0，得a =4＞2，符合……………………………4分

综上，当a =0或a =4时，f （x）的极小值为0. …………………………………………5分

（Ⅱ）若a＜2，则由表1可知，应有f（2- a）=5.

即[（2- a）²+a（2- a）+a]e^a-2=5，∴（4- a） e^a-2=5. ……………………………………6分

设g（a）=（4- a）e^a-2，则g ′（a）=- e^a-2+（4- a）e^-2= e^-2（3-a）. …………………7分

由a＜2.故g ′（a）＞0.

∴当a＜2时，g（a）＜g（2）=2＜5，即f（2- a）=5，不可能成立；……………………8分

若a＞2，则由表2可知，应有f（0）=5，即a=5.

综上所述，当且仅当a=5时，f （x）的极大值为5. ………………………………………9分

（Ⅲ）∵f （x）=(x²+ax+a)e^-1，f ′（x）=- e^-1[x²+(a-2)x]

………………………………10分

…………………………………11分

由渍 ′（x）＞0，得x＞1；

由渍 ′（x）＜0，得x＜1，且x≠0.

从而渍 （x）在区间（-∞，0），（0，1）内单调递减；

在区间（1，+∞）内单调递增.………………………………………………………………12分

结合函数取值情况，画出如右图所示的草图.

可得当a＜0或a=e时，原方程只有一个实数根；

当0≤a＜e时，原方程没有实数根；

当a＞e时，原方程有两个实数根. …………………14分

（Ⅲ）解法二：∵f （x）=(x²+ax+a)e^-1，f ′（x）=- e^-1[x²+(a-2)x]

……………………………………………………………10分

即ax= e^-1（x≠0）.

考查函数y=ax与y= e²交点个数.如图，可得…………11分

当a＜0时，有一个交点；

当a=0时，没有交点. …………………………………12分

当a＞0时，若y=ax与y= e²相切，设切点为（x _a ，y _a），

对y= e^x求导，得y′= e′，则a=（e^x）′.

又

∴当a=e时，有一个交点；

当a＞e时，有两个交点. ……………………………………………………………………13分

综上可知：当a＜0或a=e时，原方程只有一个实数根；

当0≤a＜e时，原方程没有实数根；

当a＞e时，原方程有两个实数根. ……………………………………………14分

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