Question

已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax²+3x+1=0有解；②代数式log₂（a+3）有意义．则使得指数函数y=（3a-2）^x为减函数的概率为

4

63

．

Answer 1

分析：根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由实数a满足下列两个条件得出关于a的不等式，并求出构成的区域长度，再求出指数函数y=（3a-2）^x为减函数的数a构成的区域长度，再求两长度的比值．

解答：解：：①关于x的方程ax²+3x+1=0有解，
则a=0或△≥0?a≤

9

4

，
②代数式log₂（a+3）有意义?a＞-3．
综合得：-3＜a≤

9

4

．
满足两个条件：①②数a构成的区域长度为

9

4

+3=

21

4

，
指数函数y=（3a-2）^x为减函数?0＜3a-2＜1?

2

3

＜a＜1．
则其构成的区域长度为：1-

2

3

=

1

3

，
则使得指数函数y=（3a-2）^x为减函数的概率为

1 3

21 4

=

4

63

；
故答案为：

4

63

．

点评：本题主要考查概率的建模和解模能力，本题是长度类型，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．