Question

【题目】已知函数，

（1）讨论在上的单调性.

（2）当时，若在上的最大值为，证明：函数在内有且仅有2个零点.

Answer 1

【答案】（1），在单调递减；时，在单调递增；

（2）证明见解析；

【解析】

（1），分和，讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结论和最值求，，因为函数单调递增， ，可知上有一个零点，设，再求，当时，从而得到含的单调性和零点，再判断函数的单调性和零点.

（1），

当，时，， 单调递减，

当时，，单调递增，

综上得当，在单调递减；

时，在单调递增；

（2）由（1）知时

的最大值为

由得，

在上单调递增；

且，，

在内有且仅有1个零点.

当时

令，

，

在内单调递减，

且，，

存在，使得，

时，

在单调递增

时，

在上无零点，

当时，

在内单调递减；

又

在内有且仅有1个零点，

综上所述，在内有且仅有2个零点.