Question

已知函数f(x)=loga

2-x

2+x

，(a＞0，a≠1)．
（1）当a=3时，求函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的定义域，并求函数g（x）=-ax²-（2x+4）a^f（x）+4的值域（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）令u=

2-x

2+x

，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由f（x）=h（u）为增函数求得函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值；
（2）由函数的真数大于0求出函数f（x）的定义域，即g（x）的定义域，把f（x）的解析式代入g（x）后整理，化为关于x的二次函数，对a分类讨论，由二次函数的单调性求最值．

解答：解：（1）令u=

2-x

2+x

=

4

x+2

-1，函数u在x∈[-1，1]上单调递减，故u∈[

1

3

，3]，
故y=log₃u∈[-1，1]，即当x∈[-1，1]时，f（x）_max=1（在u=3，即x=-1时取得），
f（x）_min=-1（在u=

1

3

，即x=1时取得）；
（2）由

2-x

2+x

＞0?（2-x）（2+x）＞0，解得-2＜x＜2，
∴函数f（x）的定义域为（-2，2），
g（x））=-ax²-（2x+4）a^f（x）+4=-ax²-（2x+4）aloga

2-x

2+x

+4=-ax²+2x，x∈（-2，2），
因为a＞0且a≠1，故g（x）的开口向下，且对称轴x=

1

a

＞0，
于是：①当

1

a

∈(0，2)，即a∈(

1

2

，1)∪(1，+∞)时，
g（x）的值域为(g(-2)，g(

1

a

)]=(-4(a+1)，

1

a

]；
②当

1

a

≥2，即a∈(0，

1

2

]时，g（x）的值域为（g（-2），g（2））=（-4（a+1），4（1-a））．
综上，当a∈(

1

2

，1)∪(1，+∞)时，函数g（x）的值域为(-4(a+1)，

1

a

]；
当a∈(0，

1

2

]时，函数g（x）的值域为（-4（a+1），4（1-a））．

点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用对数的性质化简函数解析式，训练了利用二次函数的单调性求最值，属中档题．