Question

已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x₀，使得对于任意的实数x₁，x₂，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对任意正整数n，有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n

）+1，记T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求a_n与T_n；
（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞

4

35

[log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，先令 x₁=x₂=0，再令x₁=1，x₂=0，代入已知恒等式即可；
（2）确定f（n）=2n-1，可求a_n，证明数列{b_n}为等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求得T_n；
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2），从而可得不等式组，即可求实数x的取值范围．

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），∴f（x₀）=-f（0）①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x₀）=f（1）
又∵f（x）是单调函数，
∴x₀=1；
（2）由（1）可得 f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）+1
则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1（n∈N^*），
∴a_n=

1

2n-1

∵f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）+f（1），
∴f（

1

2

）=0，∴b₁=f（

1

2

）+1=1
∵f(

1

2n

)=f(

1

2n+1

+

1

2n+1

)=2f(

1

2n+1

)+f(1)=2f(

1

2n+1

)+1
∴2bn+1=2f(

1

2n+1

+

1

2n+1

)=2f(

1

2n+1

)+2=f(

1

2n

)+1=bn
∴bn=(

1

2

)n-1
∴T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=

2

3

[1-(

1

4

)n]
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n
则F（n+1）-F（n）=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

＞0
当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=a₃+a₄=

12

35

∴

12

35

＞

4

35

[log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)+1]
即log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)＜2
∴

x+1＞0 9x2-1＞0 x+1 9x2-1 ＞ 1 4

，解得-

5

9

＜x＜-

1

3

或

1

3

＜x＜1
故x∈(-

5

9

，-

1

3

)∪(

1

3

，1)

点评：本题考查了函数与数列的综合应用能力，抽象函数表达式的应用，等差等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．