Question

已知椭圆C1：

x2

4

+

y2

3

=1，抛物线C2：y2=4x，过椭圆C₁右顶点的直线l交抛物线C₂于A，B两点，射线OA，OB分别与椭圆交于点D，E，点O为原点．
（Ⅰ）求证：点O在以DE为直径的圆的内部；
（Ⅱ）记△ODE，△OAB的面积分别为S₁，S₂，问是否存在直线l使S₂=3S₁？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：x=my+2，代入y²=4x，根据方程的根与系数关系可求y₁+y₂，y₁y₂，要证明点O在以DE为直径的圆的内部；只要证明

OA

•

OB

＜0即可
（2）设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），则射线OA：y=

4

y1

x，代入

x2

4

+

y2

3

=1得y32=

64×3

3y12+64

，同理可得y42=

64×3

3y22+64

，代入检验即可验证

解答：（1）证明：设直线l：x=my+2，代入y²=4x得y²-4my-8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+m2)y1y2+2m(y1+y2)+4=-4＜0
∴∠AOB＞90°即∠DOE＞90°
∴点O在以DE为直径的圆的内部
（2）设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）
则射线OA：y=

4

y1

x，代入

x2

4

+

y2

3

=1得y32=

64×3

3y12+64

，
同理y42=

64×3

3y22+64

∴(

s2

s1

)2=(

|y1y2|

|y3y4|

)2=

64

64×3 3y12+64 • 64×3 3y22+64

=

(3y12+64)(3y22+64)

64×9

=

73+3[(y1+y2)2-2y1y2]

9

=

73+3(16m2+16)

9

=

121+48m2

9

=9
∴m²=-

5

6

故不存在满足条件的直线l

点评：本题主要考查了直线与抛物线的 相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合性试题