Question

如图，已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 

 

Answer 1

（Ⅰ）将圆的一般方程化为标准方程

，圆的圆心为,半径.

由,得直线,

即,          

由直线与圆相切,得,

或(舍去).  -----------------------------------2分

当时, , 

故椭圆的方程为 ---------------------------------4分

（Ⅱ）(方法一)由知,从而直线与坐标轴不垂直,

由可设直线的方程为，

直线的方程为.                                 

将代入椭圆的方程

并整理得: ,-----------------------------------6分

解得或,因此的坐标为,

即  ------------------------------------------8分                        

将上式中的换成,得.     

直线的方程为

化简得直线的方程为，      

因此直线过定点.     ---------------------------------12分              

 (方法二)由题直线的斜率存在，则可设直线的方程为：

，                

代入椭圆的方程并整理得:

,              

设直线与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而

            

由得

，

整理得： 由知.

       此时, 因此直线过定点.