Question

（05年北京卷理）(14分)

如图,在直四棱柱中,,

垂足为

(Ⅰ)求证;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)求异面直线与所成角的大小

Answer 1

解析：（I）在直四棱柱ABCD－AB₁C₁D₁中，

∵AA₁⊥底面ABCD．∴ AC是A₁C在平面ABCD上的射影．

   ∵BD⊥AC．∴ BD⊥A₁C；

（II）连结A₁E，C₁E，A₁ C₁．

   与（I）同理可证BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

∴ ∠A₁EC₁为二面角A₁－BD－C₁的平面角．

  ∵  AD⊥DC，∴ ∠A₁D₁C₁=∠ADC＝90°，

    又A₁D₁=AD＝2，D₁C₁= DC＝2，AA₁=且 AC⊥BD，

    ∴ A₁C₁＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A₁E＝2，C₁E＝2，

    在△A₁EC₁中，A₁C₁²＝A₁E²＋C₁E²，  ∴ ∠A₁EC₁＝90°，

    即二面角A₁－BD－C₁的大小为90°．

（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC₁，

则∠C₁BF就是AD与BC₁所成的角．

∵  AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， 

∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC₁=，BC₁＝，

    在△BFC₁ 中，,∴ ∠C₁BF=

即异面直线AD与BC₁所成角的大小为．

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系

连结

与(1)同理可证,,

∴为二面角的平面角.

由

得

∴

∴即

∴二面角的大小为

（Ⅲ）如图,由,

得

∴

∴

∵异面直线与所成角的大小为

解法三：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结.

与（Ⅰ）同理可证

∴为二面角的平面角

由

得

∵

∴即

∴二面角的大小为