Question

【题目】设函数.① 若，则的极小值为___； ② 若存在使得方程无实根，则的取值范围是___．

Answer 1

【答案】

【解析】

①判断函数的单调性，结合函数极值的定义进行判断即可

②根据分段函数的表达式求出函数f（x）的取值范围，若方程无实根，等价为f（x）与y＝m没有交点，利用函数与方程的关系进行转化求解即可．

①当a＝0时，当x≤0时，f（x）＝x为增函数，

当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，对称轴为x＝1，

当0＜x≤1时，f（x）为减函数，当x≥1时，f（x）为增函数，

即当x＝1时，函数取得极小值，此时f（1）＝1﹣2﹣4＝﹣5，

②∵当x≤a时，f（x）≤a，

当x→+∞时，f（x）→+∞，

若存在m使得方程f（x）﹣m＝0无实根，即存在m使得方程f（x）＝m无实根，

则说明函数f（x）的值域不是R，

即当x＞a时，f（x）＞a，即可．

若a＜1，当x＞a时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣2﹣4＝﹣5，

此时只要a＜﹣5即可，

若a≥1，此时f（x）在（a，+∞）为增函数，则f（x）＞f（a）＝a2﹣2a﹣4，

由a2﹣2a﹣4＞a，即a2﹣3a﹣4＞0，得（a+1）（a﹣4）＞0，

则a＞4或a＜﹣1（舍），

综上a＞4或a＜﹣5，

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（4，+∞），

故答案为：﹣5，（﹣∞，﹣5）∪（4，+∞）.