Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P（2，0）为定点．
（Ⅰ）若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用焦点坐标和抛物线的系数之间的关系即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）先设出圆M的方程找到|AB|的长（用圆心M的坐标来表示），在利用圆心M在抛物线C上运动，把|AB|的长转化为与抛物线系数有关的形式，即可求出找到结论．

解答：解：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=2px（p≠0），则抛物线的焦点坐标为（

p

2

，0）．由已知，

p

2

=2，即p=4，故抛物线C的方程是y²=8x．
（Ⅱ）设圆心M（a，b）（a≥0），点A（0，y₁），B（0，y₂）．
因为圆M过点P（2，0），则可设圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=（a-2）²+b²．令x=0，得y²-2by+4a-4=0．则y₁+y₂=2b，y₁•y₂=4a-4．
所以|AB|=

(y1-y2)2

=

(y1+y2)2-4y1•y2

=

4b2-16a+16

．
设抛物线C的方程为y²=mx（m≠0），因为圆心M在抛物线C上，则b²=ma．
所以|AB|=

4ma-16a+16

=

4a(m-4)+16

．
由此可得，当m=4时，|AB|=4为定值．故存在一条抛物线y²=4x，使|AB|为定值4．

点评：本题涉及到抛物线标准方程的求法问题．因为抛物线的标准方程有四种形式，所以在设方程之前一定要先看焦点所在位置．