Question

如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB，设AB延长线与海平面交于点O．测量船在点O的正东方向点C处，测得塔顶A的仰角为30°，然后测量船沿CO方向航行至D处，当CD=100（

3

-1）米时，测得塔顶A的仰角为45°．
（1）求信号塔顶A到海平面的距离AO；
（2）已知AB=52米，测量船在沿CO方向航行的过程中，设DO=x，则当x为何值时，使得在点D处观测信号塔AB的视角∠ADB最大．

Answer 1

分析：（1）由题意知，在△ACD中，∠ACD=30°，∠DAC=15°，利用正弦定理可求得AD，在直角△AOD中，∠ADO=45°，从而可求得AO；
（2）设∠ADO=α，∠BDO=β，依题意，tanα=

100

x

，tanβ=

48

x

，可求得tan∠ADB=tan（α-β）=

52x

x2+4800

=

52

x+ 4800 x

，利用基本不等式可求得tan∠ADB的最大值，从而可得答案．

解答：解：（1）由题意知，在△ACD中，∠ACD=30°，∠DAC=15°，…（2分）
所以

CD

sin15°

=

AD

sin30°

，得AD=100

2

，…（5分）
在直角△AOD中，∠ADO=45°，所以AO=100（米）；             …（7分）

（2）设∠ADO=α，∠BDO=β，由（1）知，BO=48米，
则tanα=

100

x

，tanβ=

48

x

，…（9分）
tan∠ADB=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

100 x - 48 x

1+ 100 x • 48 x

=

52x

x2+4800

，…（11分）
所以tan∠ADB=

52

x+ 4800 x

≤

52

2 x• 4800 x

=

13 3

60

，…（13分）
当且仅当x=

4800

x

即x=40

3

亦即DO=40

3

时，
tan∠ADB取得最大值，…（14分）
此时点D处观测信号塔AB的视角∠ADB最大．                      …（15分）

点评：本题考查正弦定理，考查两角和与差的正切函数，突出考查基本不等式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．