Question

【题目】已知、是椭圆（）的左、右焦点，过作轴的垂线与交于、

两点， 与轴交于点， ，且， 为坐标原点.

（1）求的方程；

（2）设为椭圆上任一异于顶点的点， 、为的上、下顶点，直线、分别交轴于点、.若直线与过点、的圆切于点.试问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题可得为正三角形，由此求得，又，可求得， .，得到椭圆的方程；

2）由（1）可知， ，

设点，表示出的坐标，设圆 的圆心为，设圆的半径为，通过点在圆上，推出．然后求出的表达式，利用，化简即可求出的值

试题解析：（1）由知点是线段的中点，又为等腰三角形

且，得为正三角形，

，

∴， ，

∴.

∵，且

∴， .

椭圆的方程为.

（2）设，由（1）知， ，

则直线的方程为.

直线的方程为，

∴， ，

设过的圆的圆心为

即，则的半径满足；

又

∴

∴，即为定长.