Question

设函数f（x）=x²+2ax-ln（1+x）+1．
（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程是x-y+b=0，求实数a，b的值；
（2）当a=

1

2

时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）=x²+（2a-

1

2

）x+

1

2

（a+1）在[0，2]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程是x-y+b=0，进口求实数a，b的值；
（2）求导函数，利用导数大于0，小于0，可确定函数的单调性；
（3）方程f（x）=x²+（2a-

1

2

）x+

1

2

（a+1）在[0，2]上有两个不等实根，等价于x-2ln（1+x）-a+1=0在[0，2]上有两个不等实根，构造函数，利用导数可确定实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f′(x)=2x+2a-

1

1+x

，f′（0）=1
∴2a-1=1，∴a=1
∵f（0）=1，函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程是x-y+b=0，
∴b=1，
故a=1，b=1．
（2）当a=

1

2

时，f（x）=x²+x-ln（1+x）+1，定义域为（-1，+∞）
求导函数f′(x)=

x(2x+3)

x+1

令f′(x)=

x(2x+3)

x+1

≥0x＞-1，可得x≥0，令f′(x)=

x(2x+3)

x+1

≤0，x＞-1，可得-1＜x≤0，
∴函数f（x）的单调增区间为[0，+∞）；单调减区间为（-1，0]
（3）方程f（x）=x²+（2a-

1

2

）x+

1

2

（a+1）在[0，2]上有两个不等实根，
等价于x-2ln（1+x）-a+1=0在[0，2]上有两个不等实根
设g（x）=x-2ln（1+x）-a+1=0，x∈[0，2]，则g′(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

令g′（x）＞0，x＞-1可得x＞1，令g′（x）＜0，x＞-1，可得-1＜x＜1，
∴函数f（x）在[0，1）上单调减；在（1，2]上单调增区间
∴

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，∴

-a+1≥0 1-2ln2-a+1＜0 2-2ln3-a+1≥0

∴2-2ln2＜a＜3-2ln2
∴实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln2）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数与方程的联系，属于中档题