Question

  (本题满分16分)

已知圆，点，直线.

⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；

⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.

 

Answer 1

【答案】

（1）直线方程为

（2）存在点对于圆上任一点，都有为常数。

【解析】解：⑴设所求直线方程为，即，

直线与圆相切，∴，得，

∴所求直线方程为                -----------5分

⑵方法1：假设存在这样的点，

当为圆与轴左交点时，；

当为圆与轴右交点时，，

依题意，，解得，（舍去），或。  -----------------8分

下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。

设，则，  

∴，

从而为常数。                                     -------------15分

方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，

∴，将代入得，

，即

对恒成立，         ----------------8分

∴，解得或（舍去），

所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。  ------------15分