Question

（本小题12分）已知函数．

(1)证明函数的图像关于点对称;

（2）若，求；

（3）在（2）的条件下，若 ，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1） 证明：见解析；（2） ；（3）   .

【解析】(1)证明f(x)关于点 对称，只须证明：设、是函数图像上的两点, 其中且,即证：即可.

(2)利用（1）的结论，采用倒序相加的方法求和即可。

（3）当时，，  当时，， .可求出 

然后再本小题可转化为对一切都成立，即恒成立，又即

恒成立,再构造,研究其最大值即可。

（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且,

则有 

因此函数图像关于点对称             ……………………………………4分

（2）由（1）知当时，

     ①      ②

①+②得 ………………………………………………………………8分

（3）当时，

     当时，，

当时， …=

∴  （）

又对一切都成立，即恒成立

∴恒成立，又设,所以在上递减,所以在处取得最大值

∴，即

所以的取值范围是                          ………………12分