Question

设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(

1

2

)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f(x)≥2+f(

p

x-4

)，其中p＞-1．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 m=2，n=

1

2

，即可求出 f(

1

2

)的值；
（2）先在定义域内任取两个值x₁，x₂，并规定大小，然后判定出f（x₁），与f（x₂）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论；
（3）将f(x)≥2+f(

p

x-4

)转化为f(x)≥f(

4p

x-4

)，然后根据函数的单调性和定义域建立关系式，解之即可．

解答：解：（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=

1

2

，则 f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)，
∴f（2）=1（4分）
（2）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f(

x2

x1

)＞0（6分）
f(x2)=f(x1×

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＞f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分）
（3）∵f（2）=1得2=f（2）+f（2）=f（4）
又f(x)≥2+f(

p

x-4

)
可化为：f(x)≥f(

4p

x-4

)
由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
原不等式可化为：

x≥ 4p x-4 4p x-4 ＞0

当p＞0时，解之得：x≥2+2

1+p

．
当-1＜p＜0时，解之得：2-2

1+p

≤x≤2+2

1+p

．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数单调性的判断、证明及应用，属于中档题．