Question

090423

（本题满分14分）已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.（1）若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（I）x-y+1=0,或x+y+1=0 （Ⅱ）

解析:

（解  （1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+1),

将y=k(x+1)代入x²+3y²=5,消去y整理得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-5=0.…2 分  设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

① ②

则      4分由线段AB中点的横坐标是-，得=-=-,解得k=±，适合①.  6分所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.…7分

(2)假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数.

（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x₁+x₂=-,x₁x₂=.    ③

所以=（x₁-m）(x₂-m)+y₁y₂=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁+1)(x₂+1)=(k²+1)x₁x₂+(k²-m)(x₁+x₂)+k²+m². 

将③代入，整理得=+m²=+m²=m²+2m--. 11分注意到是与k无关的常数，从而有6m+14=0，m=-，此时=.…12分

（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为、，

当m=-时，亦有=.综上，在x轴上存在定点M，使为常数.  14分