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    设函数fn( θ )=sinnθ+( -1 )ncosnθ，0≤θ≤
    π
    4
    ，其中n为正整数．
    （Ⅰ）判断函数f1（θ）、f3（θ）的单调性，并就f1（θ）的情形证明你的结论；
    （Ⅱ）证明：2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）；
    （Ⅲ）试给出求函数fn（θ）的最大值和最小值及取得最值时θ的取值的一般规律（不要求给出证明）．
    fn（θ） fn（θ）的
    单调性    		 fn（θ）的最小值及取得最小值时θ的取值 fn（θ）的最大值及取得最大值时θ的取值
    n=1
    n=2
    n=3
    n=4
    n=5
    n=6
    分析：（1）设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，
    π
    4
    ]，根据三角函数的特点判断f1（θ1）-f1（θ2）=（sinθ1-sinθ2）+（cosθ2-cosθ1）＜0，从而得出结论；
    （2）首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos22θ，同理原式右边也等于cos22θ，从而证明结论．
    （3）当n=1时，f1（θ）在[0，
    π
    4
    ]上单调递增，求出最值；当n=3时，f3（θ）在[0，
    π
    4
    ]上为单调递增，求出最值；
    正奇数n≥5的情形，首先根据定义判断出函数的单调递增，从而得出fn（θ）的最大值为fn(
    π
    4
    )    =0，最小值为fn（0）=-1．
    解答：解：（Ⅰ）f1（θ）、f3（θ）在[ 0，  
    π
    4
     ]    上均为单调递增的函数．…（1分）
    设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，
    π
    4
    ]，则sinθ1＜sinθ2，cosθ2＜cosθ1，
    ∴f1（θ1）-f1（θ2）=（sinθ1-sinθ2）+（cosθ2-cosθ1）＜0，
    ∴f1（θ1）＜f1（θ2），
    ∴函数f1（θ）在[ 0，  
    π
    4
     ]    上单调递增；
    同理f3（θ1）-f3（θ2）=（sin3θ1-sin3θ2）+（cos3θ2-cos3θ1）＜0，
    ∴f3（θ1）＜f3（θ2），
    ∴函数f3（θ）在[ 0，  
    π
    4
     ]    上单调递增；…（3分）
    （Ⅱ）∵原式左边=2（sin6θ+cos6θ）-（sin4θ+cos4θ）
    =2（sin2θ+cos2θ）（sin4θ-sin2θ•cos2θ+cos4θ）-（sin4θ+cos4θ）
    =1-sin22θ=cos22θ．…（5分）
    又∵原式右边=（cos2θ-sin2θ）2=cos22θ，
    ∴2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）．…（6分）
    （Ⅲ）当n=1时，函数f1（θ）在[ 0，  
    π
    4
     ]    上单调递增，
    ∴f1（θ）的最大值为f1(
    π
    4
    )=0    ，最小值为f1（0）=-1，
    当n=2时，f2（θ）=1，
    ∴函数f2（θ）的最大、最小值均为1；
    当n=3时，函数f3（θ）在[ 0，  
    π
    4
     ]    上为单调递增，
    ∴f3（θ）的最大值为f3(
    π
    4
    )=0    ，最小值为f3（0）=-1；
    当n=4时，函数f4(θ)=1-
    1
    2
    sin22θ    在[ 0，  
    π
    4
     ]    上单调递减，
    ∴f4（θ）的最大值为f4（0）=1，最小值为f4(
    π
    4
    )=
    1
    2
    ；
    下面讨论正整数n≥5的情形：
    当n为奇数时，对任意θ1、θ2∈[ 0，  
    π
    4
     ]    且θ1＜θ2，
    ∵fn（θ1）-fn（θ2）=（sinnθ1-sinnθ2）+（cosnθ2-cosnθ1），
    以及 0≤sinθ1＜sinθ2＜1，0＜cosθ2＜cosθ1≤1，
    ∴sinnθ1＜sinnθ2，cosnθ2＜cosnθ1，从而 fn（θ1）＜fn（θ2），
    ∴fn（θ）在[ 0，  
    π
    4
     ]    上为单调递增，则fn（θ）的最大值为fn(
    π
    4
    )=0    ，最小值为f4（0）=-1；
    当n为偶数时，一方面有 fn（θ）=sinnθ+cosnθ≤sin2θ+cos2θ=1=fn（0），
    另一方面，由于对任意正整数l≥2，有2f2l（θ）-f2l-2（θ）=（cos2l-2θ-sin2l-2θ）（cos2θ-sin2θ）≥0，
    ∴fn(θ)≥
    1
    2
    fn-2(θ)≥…≥
    1
    2
    n
    2
    -1
    f2(θ)=
    1
    2
    n
    2
    -1
    =fn(
    π
    4
    )    ．
    ∴函数fn（θ）的最大值为fn（0）=1，最小值为fn(
    π
    4
    )=2
    		(
    1
    2
    )    n
    ．
    综上所述，当n为奇数时，函数fn（θ）的最大值为0，最小值为-1．
    当n为偶数时，函数fn（θ）的最大值为1，最小值为2
    		(
    1
    2
    )    n
    ．…（9分）
    点评：本题考查了三角函数的最值，函数单调性的判定以及同角三角函数的基本关系，一般根据定义判断函数的单调性，是难题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数fn（θ）=sinnθ+（-1）ncosnθ，0≤θ≤
    π4
    ，其中n为正整数．
    （1）判断函数f1（θ）、f3（θ）的单调性，并就f1（θ）的情形证明你的结论；
    （2）证明：2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）；
    （3）对于任意给定的正奇数n，求函数fn（θ）的最大值和最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数fn(x)=1-x+
    x2
    2
    -
    x3
    3
    +…-
    x2n-1
    2n-1
    (n∈N*)    ．
    （Ⅰ）研究函数f2（x）的单调性；
    （Ⅱ）判断fn（x）=0的实数解的个数，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N*，b，c∈R）
    （Ⅰ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间（
    12
    ，1    ）内存在唯一的零点；
    （Ⅱ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，均有|f2（x1）-f2（x2）丨≤4，求b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数fn（x）=Cn2+Cn3x+Cn4x2+…+Cnnxn-2（n∈N，n≥2），当x＞-1，且x≠0时，证明：fn（x）＞0恒成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数fn（x）=1+
    x
    1!
    +
    x2
    2!
    +…+
    xn
    n!
    ，n∈N*    ．
    （1）证明：e-xf3（x）≤1；
    （2）证明：当n为偶数时，函数y=fn（x）的图象与x轴无交点；当n为奇数时，函数y=fn（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

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