Question

已知点和抛物线的焦点关于轴对称，点是以点为圆心，4为半径的上任意一点，线段的垂直平分线与线段交于点，设点的轨迹为曲线，

求抛物线和曲线的方程；

是否存在直线，使得直线分别与抛物线及曲线均只有一个公共点，若存在，求出所有这样的直线的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解:（1）依题意,，抛物线的焦点的坐标为,则，

    所以抛物线的方程为，

由于，即，而线段的垂直平分线与线段交于点，则

因此，，且，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆，

设的方程为，则，且，解得，，

所求曲线的方程为

（2）若直线的斜率不存在，则直线，与抛物线及曲线均只有一个

    公共点，

若直线斜率存在，设其方程为，若与抛物线及曲线均只有一个公共点，

则及均只有一组解，  

   由消去得 , 则 ①   

   由消去得 ,

   则，即②      

   由①②得，

   即存在直线与抛物线及曲线均只有一个公共点，  

   综上：存在四条直线,与抛物线及曲线均只有一个公共点．