Question

（04年天津卷理）（12分）

   如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。

      (I)证明 平面；

      (II)证明平面EFD；

      (III)求二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：方法一：

(I)                 证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  底面ABCD是正方形，点O是AC的中点

在中，EO是中位线，。

而平面EDB且平面EDB，

所以，平面EDB。                              。。。。。。。。。。。。。。3分

(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，

                           ①

同样由底面ABCD，得

  底面ABCD是正方形，有平面PDC

而平面PDC，        ②           。。。。。。。。。。。。。。6分

由①和②推得平面PBC

而平面PBC，

又且，所以平面EFD   。。。。。。。。。。。。。。。。8分

(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角

由(II)知，

设正方形ABCD的边长为，则

在中，

            。。。。。。。。。。。。10分

在中，

所以，二面角的大小为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设

 

 

 

(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。

依题意得

  底面ABCD是正方形，

是此正方形的中心，

故点G的坐标为且

         

。这表明。

而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

(II)证明：依题意得。又故

由已知，且所以平面EFD。

(III)解：设点F的坐标为则

从而    所以

由条件知，即

             解得 。

  点F的坐标为 且

即，故是二面角的平面角。

且

          

所以，二面角的大小为