Question

（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为

2

2

（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为

6

4

的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设

OP

=t

OE

，求实数t的值．

Answer 1

分析：（I）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距为2c．由题意可得

2b=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解出即可得到椭圆的方程．
（II）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x²+2y²=2，化为（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用

1

2

|AB|d=

6

4

即可得到m，n，t的关系，再利用

OP

=t

OE

，及中点坐标公式即可得到点P的坐标代人椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值．

解答：解：（I）由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距为2c．
则

2b=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得

b=c=1 a= 2

，∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（II）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x²+2y²=2，化为（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，
则△=4m²n²-4（m²+2）（n²-2）=4（2m²+4-2n²）＞0，（*）
y1+y2=

-2mn

m2+2

，y1y2=

n2-2

m2+2

，
∴|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[( -2mn m2+2 )2-4× n2-2 m2+2 ]

=

2 (1+m2)(2m2+4-2n2)

m2+2

．
原点O到直线AB的距离d=

|n|

m2+1

，
∵

1

2

|AB|d=

6

4

，
∴

1

2

×

2 (1+m2)(2m2+4-2n2)

m2+2

×

|n|

1+m2

=

6

4

，化为

n2(2m2+4-2n2)

(m2+2)2

=

3

8

．（**）
另一方面，yE=

y1+y2

2

=

-mn

m2+2

，
∴x_E=my_E+n=

-m2n

m2+2

+n=

2n

m2+2

，即E(

2n

m2+2

，

-mn

m2+2

)．
∵

OP

=t

OE

，∴P(

2nt

m2+2

，

-mnt

m2+2

)．
代入椭圆方程得

(2nt)2

2(m2+2)2

+(

-mnt

m2+2

)2=1，
化为n²t²=m²+2，代入（**）得

n2(2n2t2-2n2)

(n2t2)2

=

3

8

，化为3t⁴-16t²+16=0，解得t2=4或

4

3

．
∵t＞0，∴t=2或

2 3

3

．经验证满足（*）．
∴t=2或

2 3

3

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、向量共线等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的能力及化归思想方法．