Question

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）是，理由详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

解析试题分析：（Ⅰ）判断方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.
试题解析：为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．
（Ⅰ）当时，
方程即有解，
所以为“局部奇函数”．                                           3分
（Ⅱ）当时，可化为，
因为的定义域为，所以方程在上有解．    5分
令，则．
设，则，
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，．              7分
所以时，．
所以，即．                                 9分
（Ⅲ）当时，可化为
．
设，则，
从而在有解即可保证为“局部奇函数”．   11分
令，
1° 当，在有解，
由，即，解得；        13分
2° 当时，在有解等价于
解得．                 15分
（说明：也可转化为大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为．                   16分
考点：函数的值域、方程解的存在性的判定.