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    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的两点，
    m
    =（
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    ），
    n
    =（
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    ），且
    m
    •
    n
    =0，椭圆离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，O为坐标原点．
    （1）求椭圆方程；
    （2）若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求k的值；
    （3）试问△AOB的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
    分析：（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．
    （2）设AB方程为y=kx+
    		3
    ，与椭圆方程联立，利用韦达定理及
    m
    •
    n
    =0，即可求得k的值；
    （3）当A为顶点时，B必为顶点，则△AOB的面积是1；当A，B不为顶点时，设AB方程为y=kx+m与椭圆方程联立，利用韦达定理及
    m
    •
    n
    =0，可得2m2-k2=4，从而可得结论．
    解答：解：（1）∵椭圆离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，∴
    c
    a
    =
    		3
    2
    ，b=1    ，解得a=2，b=1
    ∴所求椭圆方程为
    y2
    4
    +x2=1    ；
    （2）设AB方程为y=kx+
    		3
    ，与椭圆方程联立，消元可得（k2+4）x2+2
    		3
    kx-1=0
    ∴x1+x2=
    -2
    		3
    k
    k2+4
    ，x1x2=
    -1
    k2+4

    由已知
    m
    =（
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    ），
    n
    =（
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    ），且
    m
    •
    n
    =0，∴
    x1x2
    b2
    +
    y1y2
    a2
    =0
    ∴x1x2+
    1
    4
    (kx1+
    		3
    )    （kx2+
    		3
    ）=0
    ∴k=±
    		2

    （3）当A为顶点时，B必为顶点，则△AOB的面积是1；
    当A，B不为顶点时，设AB方程为y=kx+m
    与椭圆方程联立，消元可得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0
    ∴x1+x2=
    -2mk
    k2+4
    ，x1x2=
    m2-4
    k2+4

    ∵
    m
    •
    n
    =0，∴x1x2+
    1
    4
    (kx1+m)    （kx2+m）=0
    ∴2m2-k2=4
    ∴△AOB的面积是
    1
    2
    |m||x1-x2|=
    |m|
    		4k2-4m2+16
    k2+4
    =
    		4m2
    2|m|
    =1    ．
    ∴三角形的面积为定值1．
    点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
    （Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
    1
    y1
    +
    1
    y2
    的取值范围；
    （Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    的图象上两点，且
    OM
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    ，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
    （Ⅱ）定义定义Sn=
    n-1
    i=1
    f(
    i
    n
    )=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
    （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
    1
    2Sn+1
    (n∈N*)    ．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，且
    m
    =(
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    )，
    n
    =(
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    )    ，若
    m
    •
    n
    =0    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    图象上任意两点，且
    OM
    =
    1
    2
    （
    OA
    +
    OB
    ），已知点M的横坐标为
    1
    2
    ，且有Sn=f（
    1
    n
    ）+f（
    2
    n
    ）+…+f（
    n-1
    n
    ），其中n∈N*且n≥2，
    （1）求点M的纵坐标值；
    （2）求s2，s3，s4及Sn；
    （3）已知an=
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    ，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
    （1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
    x2-x1x3-x2
    ；
    （2）求A、C两点之间距离的最小值．

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