Question

20．已知函数f（x）=cos（$\frac{2π}{3}$x）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$x）+a，g（x）=2^x-x²，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）（参考公式：cos（2α）=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α）

• A． （-∞，$\sqrt{3}$-1]
• B． （-∞，0]
• C． [0，$\sqrt{3}$-1]
• D． （-∞，1-$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 在同一坐标系内画出函数$y={x}^{2}+1，y={2}^{x}，y={x}^{2}+\frac{3}{2}$的图象，可得$1≤{2}^{x}-{x}^{2}＜\frac{3}{2}$，换元后分离参数a，求出函数值域得答案．

解答 解：在同一坐标系内画出函数$y={x}^{2}+1，y={2}^{x}，y={x}^{2}+\frac{3}{2}$的图象如图：

由图可知，在x∈[0，1]上，${x}^{2}+1≤{2}^{x}＜{x}^{2}+\frac{3}{2}$恒成立，
即$1≤{2}^{x}-{x}^{2}＜\frac{3}{2}$，当且仅当x=0或x=1时等号成立．
∴1≤g（x）＜$\frac{3}{2}$．设g（x）=t，则1$≤t＜\frac{3}{2}$．
f[g（x）]≤0等价于f（t）≤0，
即cos（$\frac{2π}{3}$t）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$t）+a≤0，
∵1$≤t＜\frac{3}{2}$，∴$\frac{π}{3}t$∈[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$），
再设sin$\frac{π}{3}t$=m，则$\frac{\sqrt{3}}{2}≤m＜1$，
则原不等式可化为$1-2si{n}^{2}\frac{π}{3}t+（a-1）sin\frac{π}{3}t+a≤0$，
即1-2m²+（a-1）m+a≤0，
∴a$≤\frac{2{m}^{2}+m-1}{m+1}=2m-1$．
而$\sqrt{3}-1≤2m＜1$，∴a$≤\sqrt{3}-1$．
故选：A．

点评 本题考查恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想方法，属难题．