Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．
（1）求证：GC⊥平面PEF；
（2）求证：PA∥平面EFG；
（3）求三棱锥P-EFG的体积．

Answer 1

分析：（1）：因为PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，所以GC⊥PD．因为GC⊥CD且PD∩CD=D所以GC⊥平面PCD．
（2）因为EF∥CD且EF∥GH所以E，F，H，G四点共面．又因为F，H分别为DP，DA的中点所以PA∥FH因为PA?平面EFG，FH?平面EFG，所以PA∥平面EFG．
（3）先求出底面的面积S△PEF=

1

2

EF×PF=

1

2

，由题意得GC=

1

2

BC=1所以三棱锥的体积为VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

6

．

解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．
（2）证明：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，
∵E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD．
∵G，H分别为BC，AD的中点，
∴GH∥CD．
∴EF∥GH．
∴E，F，H，G四点共面．
∵F，H分别为DP，DA的中点，
∴PA∥FH．
∵PA?平面EFG，FH?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．
（3）解：∵PF=

1

2

PD=1，EF=

1

2

CD=1，
∴S△PEF=

1

2

EF×PF=

1

2

．
∵GC=

1

2

BC=1，
∴VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．

点评：证明线面垂直关键是证明直线与面内的两条相交直线垂直；证明线面平行关键是证明已知直线与面内一条直线平行即可；求三棱锥的体积时有时需要换一个底面积与高都好求的顶点，在利用体积公式求出体积即可．