Question

（2013•徐州模拟）已知数列{a_n}，其前n项和为S_n．
（1）若对任意的n∈N，a_2n-1，a_2n+1，a_2n组成公差为4的等差数列，且a1=1，

S2n

2n

=2013，求n的值；
（2）若数列{

Sn

an

+a}是公比为q（q≠-1）的等比数列，a为常数，求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件为q=1+

1

a

．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a_2n+1-a_2n-1=4，a_2n=a_2n-1+8（n∈N^*），从而得a₁，a₃，a₅，…a_2n-1，a_2n+1是公差为4的等差数列，且a₂+a₄+a₆+…+a_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1+8n，于是可求S_n=2n（2n+3），
由

S2n

2n

=2013即可求得n的值；
（2）由

Sn

an

+a=（a+1）q^n-1，可求得S_n=（a+1）q^n-1a_n-aa_n，S_n+1=（a+1）qⁿa_n+1-aa_n+1，两式相减得（a+1）（1-qⁿ）a_n+1=[a-（a+1）q^n-1]a_n，若q=1+

1

a

，可证得数列{a_n}为等比数列，（充分性）；若数列{a_n}为等比数列，可证得q=1+

1

a

，（必要性）．

解答：解：（1）因为a_2n-1，a_2n+1，a_2n组成公差为4的等差数列，
所以a_2n+1-a_2n-1=4，a_2n=a_2n-1+8（n∈N^*），…（2分）
所以a₁，a₃，a₅，…a_2n-1，a_2n+1是公差为4的等差数列，且a₂+a₄+a₆+…+a_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1+8n，…（4分）
又因为a₁=1，
所以S_2n=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）+8n
=2[n+

n(n-1)

2

×4]+8n=4n²+6n=2n（2n+3），
所以

S2n

2n

=2n+3=2013，所以n=1005．…（6分）
（2）因为

Sn

an

+a=（a+1）q^n-1，所以S_n=（a+1）q^n-1a_n-aa_n，①
所以S_n+1=（a+1）qⁿa_n+1-aa_n+1，②
②-①，得（a+1）（1-qⁿ）a_n+1=[a-（a+1）q^n-1]a_n，③…（8分）
（ⅰ）充分性：因为q=1+

1

a

，所以a≠0，q≠1，a+1≠aq，代入③式，得
q（1-qⁿ）a_n+1=（1-qⁿ）a_n，因为q≠-1，q≠1，
所以

an+1

an

=

1

q

，n∈N^*，所以{a_n}为等比数列，…（12分）
（ⅱ）必要性：设{a_n}的公比为q₀，则由③得（a+1）（1-qⁿ）q₀=a-（a+1）q^n-1，
整理得（a+1）q₀-a=（a+1）（q₀-

1

q

）qⁿ，…（14分）
此式为关于n的恒等式，若q=1，则左边=0，右边=-1，矛盾；
若q≠±1，当且仅当

(a+1)q0=a (a+1)q0=(a+1) 1 q

时成立，所以q=1+

1

a

．
由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列{a_n}为等比数列的充要条件为q=1+

1

a

．…（16分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的求和与等比数列的分析确定，考查充分必要条件的推理论证，属于难题．