Question

【题目】已知圆，动圆与圆外切，且与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程

（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点A的切线与交于点N，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）先设，动圆半径为，根据题意，列出等量关系，化简整理，即可得出曲线方程；

（2）设，依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及弦长公式，表示出，再表示出过点点的切线方程，求出点，根据点到直线距离公式，以及三角形面积公式，得到，即可得出结果.

（1）设，动圆半径为，因为动圆与圆外切，

所以，

又动圆与直线相切，所以由题意可得：，

即，即，整理得：；

所以抛物线的方程为.

（2）设，依题意可知，直线的斜率存在，

故设直线的方程为：，

联立消去可得，.

则.

所以

.

由，得，

所以过点的切线方程为， 又，

所以切线方程可化为.令，可得,

所以点,

所以点到直线的距离，

所以，当时，等号成立

所以面积的最小值为4.